sexta-feira, 22 de junho de 2012

Aplicação dos logaritmos

Neste  vídeo, produzido pelo grupo " Matemática Multimídia" da  Unicamp, é apresentada uma das várias aplicações dos logaritmos, no vídeo,  utiliza-se  logaritmos no cálculo da hora estimada da morte de uma pessoa.


segunda-feira, 30 de abril de 2012

Cálculo do quociente eleitoral



Saiba como é realizado o cálculo do quociente eleitoral para distribuição de cadeiras pelo
sistema de representação proporcional.

Exemplo: Divisão de 17 cadeiras no Município onde votaram 50.037 eleitores.


1ª operação: Determinar o nº de votos válidos, deduzindo do comparecimento os votos nulos e os em branco (art. 106, § único do Código Eleitoral e art. 5º da Lei nº 9504 de 30/09/97).
Comparecimento 50.037-Votos em branco
883
-Votos nulos
2.832
=Votos válidos 46.322


2ª operação: Determinar o quociente eleitoral, dividindo-se os votos válidos pelos lugares a preencher (art. 106 do Código Eleitoral). Despreza-se a fração, se igual ou inferior a 0,5, arredondando-a para 1 se superior.
Votos válidos
46.322
÷nº de cadeiras
17
=2.724,8=Quoc. eleitoral
2.725


3ª operação: Determinar os quocientes partidários, dividindo-se a votação de cada partido (votos nominais + legenda) pelo quociente eleitoral (art. 107 do Código Eleitoral). Despreza-se a fração, qualquer que seja.
Partidos
Votação
Quociente Eleitoral
Quociente Partidário
A15.992÷ 2.725 = 5,8= 5
B12.811÷ 2.725 = 4,7= 4
C7.025÷ 2.725 = 2,5= 2
D6.144÷ 2.725 = 2,2= 2
E2.237÷ 2.725 = 0,8= 0 *
F2.113÷ 2.725 = 0,7= 0 *
Total = 13
(sobram 4 vagas a distribuir)
* Os partidos E e F, que não alcançaram o quociente eleitoral, não concorrem à distribuição de lugares (art. 109, § 2º, do Código Eleitoral).


4ª operação: Distribuição das sobras de lugares não preenchidos pelo quociente partidário. Dividir a votação de cada partido pelo nº de lugares por ele obtidos + 1 ( art. 109, nº I do Código Eleitoral). Ao partido que alcançar a maior média, atribui-se a 1ª sobra.
Partidos
A
B
C
D
Votação
15.992
12.811
7.025
6.144
Lugares +1 ÷
÷ 6 (5+1)
÷ 5 (4+1)
÷ 3 (2+1)
÷ 3 (2+1)
Médias
2.665,3
2.562,2
2.341,6
2.048,0
(maior média 1ª sobra)


5ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisão. Agora, o partido A, beneficiado com a 1ª sobra, já conta com 6 lugares, aumentando o divisor para 7 (6+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral).
Partidos
A
B
C
D
Votação
15.992
12.811
7.025
6.144
Lugares +1
÷ 7 (6+1)
÷ 5 (4+1)
÷ 3 (2+1)
÷ 3 (2+1)
Médias
= 2.284,5
= 2.562,2
= 2.341,6
= 2.048,0
(maior média 2ª sobra)


6ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisão. Agora, o partido B, beneficiado com a 2ª sobra, já conta com 5 lugares, aumentando o divisor para 6 (5+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral).
Partidos
A
B
C
D
Votação

15.992
12.811
7.025
6.144
Lugares +1
÷ 7 (6+1)
÷ 6 (5+1)
÷ 3 (2+1)
÷ 3 (2+1)
Médias
= 2.284,5
= 2.135,1
= 2.341,6
= 2.048,0
(maior média 3ª sobra)


7ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisãoAgora, o partido C, beneficiado com a 3ª sobra, já conta com 3 lugares, aumentando o divisor para 4 (3+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral).
Partidos
A
B
C
D
Votação
15.992
12.811
7.025
6.144
Lugares +1
÷ 7 (6+1)
÷ 6 (5+1)
÷ 4 (3+1)
÷ 3 (2+1)
Médias
= 2.284,5
= 2.135,1
= 1.756,2
= 2.048,0
(maior média 4ª sobra)


OBS: No exemplo acima, a 7ª operação eliminou a última sobra. Nos casos em que o número de sobras persistir, prosseguem-se os cálculos até que todas as vagas sejam distribuídas.


RESUMO:


PARTIDOS
NÚMERO DE CADEIRAS OBTIDAS
pelo quociente partidário
pelas sobras
total
A
5
2
7
B
4
1
5
C
2
1
3
D
2
0
2
E
0
0
0
TOTAL
13
4
17
Fonte: TRE-SP

quarta-feira, 15 de fevereiro de 2012

O Mundo da Matemática

Um dos vídeos da série "O Mundo da Matemática", esse episódio mostra uma aplicação das funções exponenciais no cálculo do número de habitantes de uma cidade.

segunda-feira, 28 de novembro de 2011

O Número de Ouro

   Vídeo da  série  "Arte & Matemática" da TV Cultura, que  fala da razão áurea, sua relação com a arte, a ciência, literatura e  etc...


sábado, 5 de novembro de 2011

A lenda do jogo de xadrez


   


    Uma das histórias a respeito da origem do jogo de xadrez, é contada no livro de Malba Tahan, chamado "Diabruras da Matemática".  Diz a  lenda que o jogo foi criado para entreter  um rei da  Índia, de nome Iadava, o jovem Lahur Sessa, apresentou o jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o  inventor do jogo de xadrez, Iadava  perguntou qual presente ele gostaria de receber: jóias, terras, um palácio... O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur  disse que como recompensa, queria receber  uma quantidade de trigo da  seguinte forma:

  1 grão de trigo  pela  1ª casa;
  2 grãos de trigo pela  2ª casa;
  4 grãos de trigo pela  3ªcasa;
  8 grãos de trigo pela  4ª casa, ....

   A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas.  O rei achou o pedido muito insignificante e  pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor  do jogo de xadrez  do jeito que este havia proposto.
   Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica, vejamos:

    1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,..... 

 Para calcular a soma dos 64 primeiros termos dessa p.g. ,  utilizamos a fórmula:





  Sendo:  a1 = primeiro termo  ;  q= a  razão da pg    e   n = o número de termos,  substituindo os valores, temos: 

    S64 = (263 . 2 - 1)/ (2-1) = 264 – 1 =  18446744073709551615  

  Os calculistas reais  chegaram a conclusão que para atender o pedido, seria  necessário semear o planeta  Terra todo e a dívida só seria quitada ao fim de 450 séculos!
  
  Um número astronômico:  18 quintilhões,  446 quatrilhões,  744 trilhõess, 73 bilhões, 709 milhões, 551 mil, 615.
  
   O astuto inventor deixou o rei  em apuros, como pagar a dívida? O rei ficaria na mais absoluta miséria!

  Muita gente conhece essa história, no entanto,  poucos sabem que o rei conseguiu sair dessa enrascada, com a  ajuda de um matemático, chamado Lavaxamã, o Homem da Face  Fria, ele propôs ao jovem inventor uma recompensa melhor que ele havia pedido, ele dobraria a quantidade de grãos por cada casa e  consideraria também o número de casas infinito, não somente  as 64  do tabuleiro e por fim ainda acrescentaria mais um grão de trigo.    O jovem meditou por alguns instantes e resolveu aceitar a proposta do rei, que afinal parecia muito mais vantajosa.

  Sendo assim,   Lavaxamã começou a expor a proposta de como calcular a quantidade de  grãos de trigo:

  " S "  é a  soma de todos os infinitos termos da progressão  e que deverão ser pagos

   S = 1 + 2 + 4+ 8+16+ 32+ 64 + 128 + 256 +......

  Dobrando a quantidade de grãos em cada casa,  a soma "S"  também dobra
  
  2S = 2 +4 +8 +  16 +32 + 64 +128 + 256 +.....
   
  Por fim, ainda seria  adicionado mais um grão de trigo a soma infinita de termos

 2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +32 + 64 +128 + 256 +......

 Note que a segunda parte  da expressão é  exatamente  a soma inicial, ou seja, igual a S, Lavaxamã então propôs que se trocasse a  parte numérica da expressão por S, e  assim foi aceito pelo inventor.

    2S + 1= S 

 Resolvendo a equação,  temos  :            2S -S = -1
                                                                    S= -1 

No final, o rei de devedor passou a  ser credor do jovem inventor,  graças a um "sofisma algébrico".


Adaptado do livro "Diabruras da Matemática"  de Malba Tahan 

quinta-feira, 3 de novembro de 2011

O último teorema de Fermat

Pierre de Fermat- (1601-1665)
                                                                  

  O Último Teorema de Fermat, como ficou conhecido, tornou-se o santo graal da matemática. Vidas inteiras foram devotadas- e até mesmo sacrificadas- à busca de uma demonstração para um problema aparentemente simples.      Várias pessoas tentaram demonstrá-lo mais não conseguiram até que surgiu, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o Último Teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, ba biblioteca de sua cidade. Com medo da sucessão de fracassos de seus antecessores, durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas sua luta ainda não tinha terminado. Um erro o fez voltar às pesquisas por mais quatorze meses, até que em 1995 ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.
  A BBC fez um documentário falando do professor Andrew Wiles e  da sua fixação por esse teorema, segue o vídeo:

                   

Matemágica

Vamos brincar com números?

I-Preste bem atenção nas instruções, pode usar calculadora se quiser.


 - pense um número
 - some 1 a esse número
- eleve o resultado ao quadrado
- subtraia 1 do resultado
- divida o resultado pelo número que pensou
- subtraia o número que pensou do resultado
O resultado final é 2.

II-Para essa brincadeira, é bom ter papel e lápis.

  - pense em um número
  - some 1 , anote o resultado , este será o resultado1 (R1)
  - do resultado 1 , subtraia 2 ,  este será o resultado 2 (R2)
  - multiplique os resultados 1 e 2 , ou seja,  R1 x R2 
  - some 1  ao resultado
  - extraia a  raiz quadrada 

  Por acaso, surgiu o número que vc pensou inicialmente?