A lenda do jogo de xadrez

   

    Uma das histórias a respeito da origem do jogo de xadrez, é contada no livro de Malba Tahan, chamado "Diabruras da Matemática".  Diz a  lenda que o jogo foi criado para entreter  um rei da  Índia, de nome Iadava, o jovem Lahur Sessa, apresentou o jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o  inventor do jogo de xadrez, Iadava  perguntou qual presente ele gostaria de receber: jóias, terras, um palácio... O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur  disse que como recompensa, queria receber  uma quantidade de trigo da  seguinte forma:

  1 grão de trigo  pela  1ª casa;

  2 grãos de trigo pela  2ª casa;

  4 grãos de trigo pela  3ªcasa;

  8 grãos de trigo pela  4ª casa, ....

   A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas.  O rei achou o pedido muito insignificante e  pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor  do jogo de xadrez  do jeito que este havia proposto.

   Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica, vejamos:

    1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,..... 

 Para calcular a soma dos 64 primeiros termos dessa p.g. ,  utilizamos a fórmula:

                                            

  Sendo:  a1 = primeiro termo  ;  q= a  razão da pg    e   n = o número de termos,  substituindo os valores, temos: 

    S_{64 =} (2⁶³ . 2 - 1)/ (2-1) = 2⁶⁴ – 1 =  18446744073709551615  

  Os calculistas reais  chegaram a conclusão que para atender o pedido, seria  necessário semear o planeta  Terra todo e a dívida só seria quitada ao fim de 450 séculos!

  

  Um número astronômico:  18 quintilhões,  446 quatrilhões,  744 trilhõess, 73 bilhões, 709 milhões, 551 mil, 615.

  

   O astuto inventor deixou o rei  em apuros, como pagar a dívida? O rei ficaria na mais absoluta miséria!

  Muita gente conhece essa história, no entanto,  poucos sabem que o rei conseguiu sair dessa enrascada, com a  ajuda de um matemático, chamado Lavaxamã, o Homem da Face  Fria, ele propôs ao jovem inventor uma recompensa melhor que ele havia pedido, ele dobraria a quantidade de grãos por cada casa e  consideraria também o número de casas infinito, não somente  as 64  do tabuleiro e por fim ainda acrescentaria mais um grão de trigo.    O jovem meditou por alguns instantes e resolveu aceitar a proposta do rei, que afinal parecia muito mais vantajosa.

  Sendo assim,   Lavaxamã começou a expor a proposta de como calcular a quantidade de  grãos de trigo:

  " S "  é a  soma de todos os infinitos termos da progressão  e que deverão ser pagos

   S = 1 + 2 + 4+ 8+16+ 32+ 64 + 128 + 256 +......

  Dobrando a quantidade de grãos em cada casa,  a soma "S"  também dobra

  

  2S = 2 +4 +8 +  16 +32 + 64 +128 + 256 +.....

   

  Por fim, ainda seria  adicionado mais um grão de trigo a soma infinita de termos

 2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +32 + 64 +128 + 256 +......

 Note que a segunda parte  da expressão é  exatamente  a soma inicial, ou seja, igual a S, Lavaxamã então propôs que se trocasse a  parte numérica da expressão por S, e  assim foi aceito pelo inventor.

    2S + 1= S 

 Resolvendo a equação,  temos  :            2S -S = -1

                                                                    S= -1 

No final, o rei de devedor passou a  ser credor do jovem inventor,  graças a um "sofisma algébrico".

Adaptado do livro "Diabruras da Matemática"  de Malba Tahan