Estamate: Questões de matemática financeira resolvidas

1-(FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t)= C. 2^0,04.t, onde C >0. O menor tempo possível para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é:

a) 5 meses

b) 2 anos e 6 meses

c) 4 anos e 2 meses

d) 6 anos e 4 meses

Solução: M= 4C → 4C = C. 2^0,04.t

cancelando “c” → 4 = 2^0,04.t

2 ² = 2^0,04.t

Igualando os expoentes → 2 = 0,04 t → t= 2/0,04 → t= 50 meses

t= 4 anos e 2 meses → alternativa C

2) Maria pretende contratar um investimento que consiste em 12 depósitos mensais, iguais e postecipados, que serão resgatados em 3 saques mensais de R$ 500,00, sendo o primeiro saque realizado 1 mês depois do último depósito. A taxa de remuneração composta do investimento é de 4% ao mês. O valor de cada depósito, em reais, sem considerar os centavos, será:

(A) 83.

(B) 92.

(D) 120.

(E) 135.

Solução:

Como a taxa de remuneração é 4% am. , e serão feitos 3 saques de R$ 500,00, então temos que calcular, qual deve ser o valor total ao final dos 12 depósitos, e que deve ser aplicado a 4% am, que possibilite o resgate de R$ 500,00, sendo assim:

Total= 500(1/1,04) + [500/(1,04)²] + [500/(1,04)³] = 480,77 + 462,28 + 444,50 = 1387,55

O cálculo dos depósitos, pode ser feito utilizando a expressão:

1387,55 = d + d(1,04) + ...+ d(1,04)¹¹

1387,55 = d[1 + 1,04 +.....+ (1,04)¹¹ ]

1387,55 = d(15,025)

d=1387,55/15,025 => d= 92,34

alternativa B

3) Um capital de R$ 4000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5760,00. A taxa de juros nominal anual é:

a) 20%

b) 21%

c) 22%

d) 40%

e) 44%

Solução:

C= 4000 ; M= 5760 ; t= 1 ano i= ? taxa anual, capitalizada semestralmente:

M= C.( 1+ i/2)^2t

^{5760 = 4000.(1+ i/2)²}

^{(1+ i/2)² = 5760/4000}

^{(1 +i/2)² = 1,44}

^{1 +i/2 =}√1,44

1 + i/2 = 1,2

i/2 = 1,2 -1

i/2 = 0,2

i = 0,2 * 2

i = 0,4 => i = 40%aa

alternativa d

4) Um empréstimo de R$ 4200,00, feito no período t=0, será pago em 7 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo (t=1), com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor. Para a devolução desse empréstimo, foram estudados 2 sistemas de amortização:

Sistema de Amortização Constante (Tabela SAC);
Sistema Francês de Amortização (Tabela PRICE).

As prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante são menores do que a prestação calculada pelo Sistema Francês a partir do seguinte período:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Solução :

No sistema price a prestação P é calculada através da expressão: P=F/k

F= valor financiado ; K = coeficiente que é função da taxa e do número de prestações, e é calculado pela expressão: K= [(1+i)ⁿ-1]/i.(1+i)ⁿ

^{Temos que i= 4%am => i= 0,04 e n= 7}

^{Substituindo :} K= [(1+0,04)⁷-1]/0,04.(1+0,04)⁷

^{k= 6,00205}

^{P = F/k => P= 4200/6,00205 => P= 699,76 ( parcela fixa)}

^{No sistema SAC, as prestações são decrescentes:}

^{p1 = (4200/7) + 4% de 4200 = 600 + 168 = 768}

^{p2= 600 + 4% de 3600 = 600+ 144 = 744}

^{p3 = 600 + 4% de 3000 = 600 + 120 = 720}

^{p4 = 600 +4% de 2400 = 600 + 96 = 696}

^{Portanto no período 4, o valor no sistema SAC é menor que no sistema PRICE}

^{Alternativa C}

⁵⁾Seja A1 o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal.

Se A1-A2 = R$ 96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número:

   a) múltiplo de 3.
   b) múltiplo de 4.
   c) múltiplo de 7.
   d) múltiplo de 13.
   e) primo.

Solução: Devemos entender a expressão: " valor descontado" como sendo o valor presente ou ainda o valor líquido.

No desconto racional composto o valor presente (VP) é igual a: VP= N/(1+i)^t

^{Sendo N= valor nominal ou valor futuro ; i= taxa de desconto e t= tempo}

^{A1 => VP = N/(1,1)² => A1= N/1,21}

^{No desconto comercial simples, o valor descontado é : VP= N(1-i.t)}

^{A2 => VP = N(1- 0.1x 2) => VP= 0,8N}

^{Temos que: A1- A2 = 96}

^{(N/1,21) - 0,8N = 96 (multiplicando toda expressão pro 1,21)}

^{N - 0.968N = 116,16}

^{0,032N= 116,16}

^{N= 116,16/ 0,032}

^{N= 3630}

^{Por análise a única alternativa que é verdadeira , é a alternativa A, o valor nominal é um múltiplo de 3.}

⁶⁾O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja:
(A) 5,0%.
(B) 5,5%.
(C) 6,0%.
(D) 6,5%.
(E) 7,0%.

Solução:

C= 2000 , i= 20% as e t= 6 meses => 1 período , com capitalização trimestral, sendo assim serão feitas duas capitalizações, ou seja , n= 2. O montante composto é dado por:

M= C(1+ i/n)^n.t

^{M= 2000 ( 1+ 0,2/2)²}

^{M =2000(1+ 0,1)²}

^{M= 2000.(1,1)²}

^{M= 2420}

^{Para obter o mesmo montante , no regime simples, com taxa bimestral, temos:}

^{M= 2420 ; t= 6 meses => 3 bimestres e i=?}

^{M= c(1+ i.t)}

^{2420 =2000(1+i.3)}

^{1+ i.3 = 2420/2000}

^{1+ i.3 = 1,21}

^{i.3 = 1,21 -1 => i.3 = 0,21 => i= 0,21/3 => i= 0,07 => i= 7%ab}

^{Alternativa "e"}

7) Na compra de um imóvel, o contrato prevê o pagamento de uma parcela intermediária de R$ 28.000,00 dentro de um ano. Uma instituição financeira remunera os investimentos em sua carteira à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, livres de taxas e impostos. Nessa situação, considerando 1,2 como valor aproximado de 1,015¹² , para obter o valor da parcela, o comprador do imóvel deverá investir hoje uma quantia que é inferior a R$ 23.300,00.

( ) Certo ( ) Errado

Solução: Considerando o valor a ser investido hoje como sendo o capital (c), temos:

M= C.( 1+ i)^t

^{28000 = c(1,015)¹²}

28000= 1,2.c

c= 28000/1,2 => C= 23333,33

"errado"

8) (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo) O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e o

comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um desconto

de 20%. 0 mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta.

a) A melhor opção é o pagamento à vista.

b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.

c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 192,00.

d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 210,00.

e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 252,00.

Solução:

Pagando à vista, o valor da mercadoria é : 2400*(0,8) = 1920

Considerando que o mercado fianceiro paga 35%, o comprador precisa ter hoje, VP= 2400/(1,35) => VP= 1777,78

A diferença entre o valor a vista e o valor presente (de acordo com a taxa do mercado financeiro) é igual a: 1920 - 1777,78 = 142,22 , sendo assim: aplicando essa diferença no mercado financeiro, com taxa de 35%, o comprador possuirá , após um mês: VF= 142,22*(1+ 0,35) => VF= 142,22*1,35

VF= 191,99

Portanto a melhor opção é: pagamento à prazo, e o lucro será de $ 192,00

Alternativa C

9) Considerando que uma pessoa tenha comprado um carro usado em 24 prestações mensais consecutivas e iguais a R$ 650,00 e que as prestações serão pagas a partir do mês seguinte da compra, julgue o item abaixo.
Se o vendedor tiver cobrado uma taxa de juros compostos de 2% ao mês e tomando 0,62 como valor aproximado de 1,02^-24 , então o valor a vista do carro é superior a R$ 12500,00.

( ) certo ( ) errado

Solução:

Prestação: 650 , taxa= 2% am e número de parcelas= 24

K= [(1+i)ⁿ-1]/i.(1+i)ⁿ

K= [(1,02)²⁴ -1)/[0,02*(1,02)^-24]

K= [1- (1,02)^-24]/0,02

K= [1- 0,62]/0,02 => K= 0,38/0,02 => K = 19

Valor financiado = P * k => Valor financiado = 650*19 => Valor financiado= 12350

resposta: "errado"