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Aplicação dos logaritmos

Neste  vídeo, produzido pelo grupo " Matemática Multimídia" da  Unicamp, é apresentada uma das várias aplicações dos logaritmos, no vídeo,  utiliza-se  logaritmos no cálculo da hora estimada da morte de uma pessoa.

Cálculo do quociente eleitoral

Saiba como é realizado o cálculo do quociente eleitoral para distribuição de cadeiras pelo sistema de representação proporcional. Exemplo: Divisão de 17 cadeiras no Município onde votaram 50.037 eleitores. 1ª operação: Determinar o nº de votos válidos, deduzindo do comparecimento os votos nulos e os em branco (art. 106, § único do Código Eleitoral e art. 5º da Lei nº 9504 de 30/09/97). Comparecimento 50.037 - Votos em branco 883 - Votos nulos 2.832 = Votos válidos 46.322 2ª operação: Determinar o quociente eleitoral, dividindo-se os votos válidos pelos lugares a preencher (art. 106 do Código Eleitoral). Despreza-se a fração, se igual ou inferior a 0,5, arredondando-a para 1 se superior. Votos válidos 46.322 ÷ nº de cadeiras 17 = 2.724,8 = Quoc. eleitoral 2.725 3ª operação: Determinar os quocientes partidários, dividindo-se a votação de cada partido (votos nominais + legenda) pelo quociente eleitoral (art. 107 do Código Eleitoral). Despreza-se a fração, qualquer que seja. Partidos Votação Quociente Eleitoral Quociente Partidário A 15.992 ÷ 2.725 = 5,8 = 5 B 12.811 ÷ 2.725 = 4,7 = 4 C 7.025 ÷ 2.725 = 2,5 = 2 D 6.144 ÷ 2.725 = 2,2 = 2 E 2.237 ÷ 2.725 = 0,8 = 0 * F 2.113 ÷ 2.725 = 0,7 = 0 * Total = 13 (sobram 4 vagas a distribuir) * Os partidos E e F, que não alcançaram o quociente eleitoral, não concorrem à distribuição de lugares (art. 109, § 2º, do Código Eleitoral). 4ª operação: Distribuição das sobras de lugares não preenchidos pelo quociente partidário. Dividir a votação de cada partido pelo nº de lugares por ele obtidos + 1 ( art. 109, nº I do Código Eleitoral). Ao partido que alcançar a maior média, atribui-se a 1ª sobra. Partidos A B C D Votação 15.992 12.811 7.025 6.144 Lugares +1 ÷ ÷ 6 (5+1) ÷ 5 (4+1) ÷ 3 (2+1) ÷ 3 (2+1) Médias 2.665,3 2.562,2 2.341,6 2.048,0 (maior média 1ª sobra) 5ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisão. Agora, o partido A, beneficiado com a 1ª sobra, já conta com 6 lugares, aumentando o divisor para 7 (6+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral). Partidos A B C D Votação 15.992 12.811 7.025 6.144 Lugares +1 ÷ 7 (6+1) ÷ 5 (4+1) ÷ 3 (2+1) ÷ 3 (2+1) Médias = 2.284,5 = 2.562,2 = 2.341,6 = 2.048,0 (maior média 2ª sobra) 6ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisão. Agora, o partido B, beneficiado com a 2ª sobra, já conta com 5 lugares, aumentando o divisor para 6 (5+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral). Partidos A B C D Votação 15.992 12.811 7.025 6.144 Lugares +1 ÷ 7 (6+1) ÷ 6 (5+1) ÷ 3 (2+1) ÷ 3 (2+1) Médias = 2.284,5 = 2.135,1 = 2.341,6 = 2.048,0 (maior média 3ª sobra) 7ª operação: Como há outra sobra, repete-se a divisão. Agora, o partido C, beneficiado com a 3ª sobra, já conta com 3 lugares, aumentando o divisor para 4 (3+1) (art. 109, nº II, do Código Eleitoral). Partidos A B C D Votação 15.992 12.811 7.025 6.144 Lugares +1 ÷ 7 (6+1) ÷ 6 (5+1) ÷ 4 (3+1) ÷ 3 (2+1) Médias = 2.284,5 = 2.135,1 = 1.756,2 = 2.048,0 (maior média 4ª sobra) OBS: No exemplo acima, a 7ª operação eliminou a última sobra. Nos casos em que o número de sobras persistir, prosseguem-se os cálculos até que todas as vagas sejam distribuídas. RESUMO: PARTIDOS NÚMERO DE CADEIRAS OBTIDAS pelo quociente partidário pelas sobras total A 5 2 7 B 4 1 5 C 2 1 3 D 2 0 2 E 0 0 0 TOTAL 13 4 17

Fonte: TRE-SP

O Mundo da Matemática

Um dos vídeos da série "O Mundo da Matemática", esse episódio mostra uma aplicação das funções exponenciais no cálculo do número de habitantes de uma cidade.

O Número de Ouro

   Vídeo da  série  "Arte & Matemática" da TV Cultura, que  fala da razão áurea, sua relação com a arte, a ciência, literatura e  etc...

A lenda do jogo de xadrez

   

    Uma das histórias a respeito da origem do jogo de xadrez, é contada no livro de Malba Tahan, chamado "Diabruras da Matemática".  Diz a  lenda que o jogo foi criado para entreter  um rei da  Índia, de nome Iadava, o jovem Lahur Sessa, apresentou o jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o  inventor do jogo de xadrez, Iadava  perguntou qual presente ele gostaria de receber: jóias, terras, um palácio... O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur  disse que como recompensa, queria receber  uma quantidade de trigo da  seguinte forma:

  1 grão de trigo  pela  1ª casa;

  2 grãos de trigo pela  2ª casa;

  4 grãos de trigo pela  3ªcasa;

  8 grãos de trigo pela  4ª casa, ....

   A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas.  O rei achou o pedido muito insignificante e  pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor  do jogo de xadrez  do jeito que este havia proposto.

   Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica, vejamos:

    1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,..... 

 Para calcular a soma dos 64 primeiros termos dessa p.g. ,  utilizamos a fórmula:

                                            

  Sendo:  a1 = primeiro termo  ;  q= a  razão da pg    e   n = o número de termos,  substituindo os valores, temos: 

    S_{64 =} (2⁶³ . 2 - 1)/ (2-1) = 2⁶⁴ – 1 =  18446744073709551615  

  Os calculistas reais  chegaram a conclusão que para atender o pedido, seria  necessário semear o planeta  Terra todo e a dívida só seria quitada ao fim de 450 séculos!

  

  Um número astronômico:  18 quintilhões,  446 quatrilhões,  744 trilhõess, 73 bilhões, 709 milhões, 551 mil, 615.

  

   O astuto inventor deixou o rei  em apuros, como pagar a dívida? O rei ficaria na mais absoluta miséria!

  Muita gente conhece essa história, no entanto,  poucos sabem que o rei conseguiu sair dessa enrascada, com a  ajuda de um matemático, chamado Lavaxamã, o Homem da Face  Fria, ele propôs ao jovem inventor uma recompensa melhor que ele havia pedido, ele dobraria a quantidade de grãos por cada casa e  consideraria também o número de casas infinito, não somente  as 64  do tabuleiro e por fim ainda acrescentaria mais um grão de trigo.    O jovem meditou por alguns instantes e resolveu aceitar a proposta do rei, que afinal parecia muito mais vantajosa.

  Sendo assim,   Lavaxamã começou a expor a proposta de como calcular a quantidade de  grãos de trigo:

  " S "  é a  soma de todos os infinitos termos da progressão  e que deverão ser pagos

   S = 1 + 2 + 4+ 8+16+ 32+ 64 + 128 + 256 +......

  Dobrando a quantidade de grãos em cada casa,  a soma "S"  também dobra

  

  2S = 2 +4 +8 +  16 +32 + 64 +128 + 256 +.....

   

  Por fim, ainda seria  adicionado mais um grão de trigo a soma infinita de termos

 2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +32 + 64 +128 + 256 +......

 Note que a segunda parte  da expressão é  exatamente  a soma inicial, ou seja, igual a S, Lavaxamã então propôs que se trocasse a  parte numérica da expressão por S, e  assim foi aceito pelo inventor.

    2S + 1= S 

 Resolvendo a equação,  temos  :            2S -S = -1

                                                                    S= -1 

No final, o rei de devedor passou a  ser credor do jovem inventor,  graças a um "sofisma algébrico".

Adaptado do livro "Diabruras da Matemática"  de Malba Tahan 

O último teorema de Fermat

Pierre de Fermat- (1601-1665)

                                                                  

  O Último Teorema de Fermat, como ficou conhecido, tornou-se o santo graal da matemática. Vidas inteiras foram devotadas- e até mesmo sacrificadas- à busca de uma demonstração para um problema aparentemente simples.      Várias pessoas tentaram demonstrá-lo mais não conseguiram até que surgiu, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o Último Teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, ba biblioteca de sua cidade. Com medo da sucessão de fracassos de seus antecessores, durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas sua luta ainda não tinha terminado. Um erro o fez voltar às pesquisas por mais quatorze meses, até que em 1995 ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.

  A BBC fez um documentário falando do professor Andrew Wiles e  da sua fixação por esse teorema, segue o vídeo: