O Número de Ouro

   Vídeo da  série  "Arte & Matemática" da TV Cultura, que  fala da razão áurea, sua relação com a arte, a ciência, literatura e  etc...

A lenda do jogo de xadrez

   

    Uma das histórias a respeito da origem do jogo de xadrez, é contada no livro de Malba Tahan, chamado "Diabruras da Matemática".  Diz a  lenda que o jogo foi criado para entreter  um rei da  Índia, de nome Iadava, o jovem Lahur Sessa, apresentou o jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o  inventor do jogo de xadrez, Iadava  perguntou qual presente ele gostaria de receber: jóias, terras, um palácio... O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur  disse que como recompensa, queria receber  uma quantidade de trigo da  seguinte forma:

  1 grão de trigo  pela  1ª casa;

  2 grãos de trigo pela  2ª casa;

  4 grãos de trigo pela  3ªcasa;

  8 grãos de trigo pela  4ª casa, ....

   A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas.  O rei achou o pedido muito insignificante e  pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor  do jogo de xadrez  do jeito que este havia proposto.

   Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica, vejamos:

    1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,..... 

 Para calcular a soma dos 64 primeiros termos dessa p.g. ,  utilizamos a fórmula:

                                            

  Sendo:  a1 = primeiro termo  ;  q= a  razão da pg    e   n = o número de termos,  substituindo os valores, temos: 

    S_{64 =} (2⁶³ . 2 - 1)/ (2-1) = 2⁶⁴ – 1 =  18446744073709551615  

  Os calculistas reais  chegaram a conclusão que para atender o pedido, seria  necessário semear o planeta  Terra todo e a dívida só seria quitada ao fim de 450 séculos!

  

  Um número astronômico:  18 quintilhões,  446 quatrilhões,  744 trilhõess, 73 bilhões, 709 milhões, 551 mil, 615.

  

   O astuto inventor deixou o rei  em apuros, como pagar a dívida? O rei ficaria na mais absoluta miséria!

  Muita gente conhece essa história, no entanto,  poucos sabem que o rei conseguiu sair dessa enrascada, com a  ajuda de um matemático, chamado Lavaxamã, o Homem da Face  Fria, ele propôs ao jovem inventor uma recompensa melhor que ele havia pedido, ele dobraria a quantidade de grãos por cada casa e  consideraria também o número de casas infinito, não somente  as 64  do tabuleiro e por fim ainda acrescentaria mais um grão de trigo.    O jovem meditou por alguns instantes e resolveu aceitar a proposta do rei, que afinal parecia muito mais vantajosa.

  Sendo assim,   Lavaxamã começou a expor a proposta de como calcular a quantidade de  grãos de trigo:

  " S "  é a  soma de todos os infinitos termos da progressão  e que deverão ser pagos

   S = 1 + 2 + 4+ 8+16+ 32+ 64 + 128 + 256 +......

  Dobrando a quantidade de grãos em cada casa,  a soma "S"  também dobra

  

  2S = 2 +4 +8 +  16 +32 + 64 +128 + 256 +.....

   

  Por fim, ainda seria  adicionado mais um grão de trigo a soma infinita de termos

 2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +32 + 64 +128 + 256 +......

 Note que a segunda parte  da expressão é  exatamente  a soma inicial, ou seja, igual a S, Lavaxamã então propôs que se trocasse a  parte numérica da expressão por S, e  assim foi aceito pelo inventor.

    2S + 1= S 

 Resolvendo a equação,  temos  :            2S -S = -1

                                                                    S= -1 

No final, o rei de devedor passou a  ser credor do jovem inventor,  graças a um "sofisma algébrico".

Adaptado do livro "Diabruras da Matemática"  de Malba Tahan 

O último teorema de Fermat

Pierre de Fermat- (1601-1665)

                                                                  

  O Último Teorema de Fermat, como ficou conhecido, tornou-se o santo graal da matemática. Vidas inteiras foram devotadas- e até mesmo sacrificadas- à busca de uma demonstração para um problema aparentemente simples.      Várias pessoas tentaram demonstrá-lo mais não conseguiram até que surgiu, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o Último Teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, ba biblioteca de sua cidade. Com medo da sucessão de fracassos de seus antecessores, durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas sua luta ainda não tinha terminado. Um erro o fez voltar às pesquisas por mais quatorze meses, até que em 1995 ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.

  A BBC fez um documentário falando do professor Andrew Wiles e  da sua fixação por esse teorema, segue o vídeo:

                   

Matemágica

Vamos brincar com números?

I-Preste bem atenção nas instruções, pode usar calculadora se quiser.

 - pense um número

 - some 1 a esse número

- eleve o resultado ao quadrado

- subtraia 1 do resultado

- divida o resultado pelo número que pensou

- subtraia o número que pensou do resultado

O resultado final é 2.

II-Para essa brincadeira, é bom ter papel e lápis.

  - pense em um número

  - some 1 , anote o resultado , este será o resultado1 (R1)

  - do resultado 1 , subtraia 2 ,  este será o resultado 2 (R2)

  - multiplique os resultados 1 e 2 , ou seja,  R1 x R2 

  - some 1  ao resultado

  - extraia a  raiz quadrada 

  Por acaso, surgiu o número que vc pensou inicialmente? 

Quem é seu exemplo de vida?

Não olhe as respostas. Se for ruim de cálculo, pegue a calculadora.

1) Escolha seu número preferido de 1 a 9
2) Multiplique por 3
3) Some 3 ao resultado
4) Multiplique o resultado por 3
5) Some os dígitos do resultado

Role a tela para baixo…

Veja o número abaixo que corresponde ao seu exemplo de vida.

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 1. Einstein

2. Nelson Mandela
3. Ayrton Senna
4. Helen Keller
5. Bill Gates
6. Gandhi
7. George Clooney
8. Thomas Edison
9. Marco Antonio Ferreira
10.Abraham Lincoln


Poxa, é uma honra servir de exemplo na sua vida...obrigado!...rss 

Poesia Matemática

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

 Millôr Fernandes

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

Fractais

 
       A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

      Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia e matemática. O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais".

      Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado".
      Uma primeira definição matemática, pelo próprio Mandelbrot, diz: - "Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica". No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

      Uma definição mais simples é esta: "Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita."

        Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual.         Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria:

• Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.
  
• Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

      A imagem ao lado ("A Curva de Koch") é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original. Assim, usando um novo conceito de dimensão, os matemáticos calcularam a dimensão fractal deste objeto como sendo:

    D = log(n.cópias)/log(escala) = log(4)/log(3) = 1,26185.

 A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.

 Rodrigo Siqueira

Grupo Fractarte

fonte: Grupo Fractarte,site: www.fractarte.com.br

Alguns exemplos de fractais: